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“抽屜”問(wèn)題

我們先來(lái)看三個(gè)例子： 

（1）3個(gè)蘋果放到2個(gè)抽屜里，那么一定有1個(gè)抽屜里至少有2個(gè)蘋果。 

（2）5塊手帕分給4個(gè)小朋友，那么一定有1個(gè)小朋友至少拿了2塊手帕。 

（3）6只鴿子飛進(jìn)5個(gè)鴿籠，那么一定有1個(gè)鴿籠至少飛進(jìn)2只鴿子。 

我們用列表法來(lái)證明例題（1）： 

放  法 

抽  屜  ①種  ②種  ③種  ④種  

第1個(gè)抽屜  3個(gè)  2個(gè)  1個(gè)  0個(gè)  

第2個(gè)抽屜  0個(gè)  1個(gè)  2個(gè)  3個(gè)  

從上表可以看出，將3個(gè)蘋果放在2個(gè)抽屜里，共有4種不同的放法。 

第①、②兩種放法使得在第1個(gè)抽屜里，至少有2個(gè)蘋果；第③、④兩種放法使得

在第2個(gè)抽屜里，至少有2個(gè)蘋果。 

即：可以肯定地說(shuō)，3個(gè)蘋果放到2個(gè)抽屜里，一定有1個(gè)抽屜里至少有2個(gè)蘋果。 

由上可以得出： 

上面三個(gè)例子的共同特點(diǎn)是：物體個(gè)數(shù)比抽屜個(gè)數(shù)多一個(gè)，那么有一個(gè)抽屜至少有2個(gè)這樣的物體。從而得出： 

抽屜原理1：把多于n個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有2個(gè)或2個(gè)以上的物體。 

再看下面的兩個(gè)例子： 

（4）把30個(gè)蘋果放到6個(gè)抽屜中，問(wèn)：是否存在這樣一種放法，使每個(gè)抽屜中的蘋果數(shù)都小于等于5？ 

（5）把30個(gè)以上的蘋果放到6個(gè)抽屜中，問(wèn)：是否存在這樣一種放法，使每個(gè)抽屜中的蘋果數(shù)都小于等于5？ 

解答:（4）存在這樣的放法。即：每個(gè)抽屜中都放5個(gè)蘋果；

（5）不存在這樣的放法。即：無(wú)論怎么放，都會(huì)找到一個(gè)抽屜，它里面至少有6個(gè)蘋果。 

從上述兩例中我們還可以得到如下規(guī)律： 

抽屜原理2：把多于m×n個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有m＋1個(gè)或多于m＋l個(gè)的物體。 

可以看出，“原理1”和“原理2”的區(qū)別是：“原理1”物體多，抽屜少，數(shù)量比較接近；“原理2”雖然也是物體多，抽屜少，但是數(shù)量相差較大，物體個(gè)數(shù)比抽屜個(gè)數(shù)的幾倍還多幾。 

以上兩個(gè)原理，就是我們解決抽屜問(wèn)題的重要依據(jù)。抽屜問(wèn)題可以簡(jiǎn)單歸結(jié)為一話：有多少個(gè)蘋果，多少個(gè)抽屜，蘋果和抽屜之間的關(guān)系。解此類問(wèn)題的重點(diǎn)就是要找準(zhǔn)“抽屜”，只有“抽屜”找準(zhǔn)了，“蘋果”才好放。 

我們先從簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手： 

（1）3只鴿子飛進(jìn)了2個(gè)鳥巢，則總有1個(gè)鳥巢中至少有幾只鴿子？（答案：2只） 

（2）把3本書放進(jìn)2個(gè)書架，則總有1個(gè)書架上至少放著幾本書？（答案：2本） 

（3）把3封信投進(jìn)2個(gè)郵筒，則總有1個(gè)郵筒投進(jìn)了不止幾封信？（答案：1封） 

（4）1000只鴿子飛進(jìn)50個(gè)巢，無(wú)論怎么飛，我們一定能找到一個(gè)含鴿子最多的巢，它里面至少含有幾只鴿子？（答案：1000÷50＝20，所以答案為20只） 

（5）從8個(gè)抽屜中拿出17個(gè)蘋果，無(wú)論怎么拿。我們一定能找到一個(gè)拿蘋果最多的抽屜，從它里面至少拿出了幾個(gè)蘋果？（答案：17÷8＝2……1，2＋1＝3，所以答案為3） 

（6）（6）從幾個(gè)抽屜中（填最大數(shù)）拿出25個(gè)蘋果，才能保證一定能找到一個(gè)抽屜，從它當(dāng)中至少拿了7個(gè)蘋果？（答案：25÷□＝6……□，可見(jiàn)除數(shù)為4，余數(shù)為1，抽屜數(shù)為4，所以答案為4個(gè)） 

抽屜問(wèn)題又稱為鳥巢問(wèn)題、書架問(wèn)題或郵筒問(wèn)題。如上面（1）、（2）、（3）題，講的就是這些原理。上面（4）、（5）、（6）題的規(guī)律是：物體數(shù)比抽屜數(shù)的幾倍還多幾的情況，可用“蘋果數(shù)”除以“抽屜數(shù)”，若余數(shù)不為零，則“答案”為商加1；若余數(shù)為零，則“答案”為商。其中第（6）題是已知“蘋果數(shù)”和“答案”來(lái)求“抽屜數(shù)”。 

抽屜問(wèn)題的用處很廣，如果能靈活運(yùn)用，可以解決一些看上去相當(dāng)復(fù)雜、覺(jué)得無(wú)從下手，實(shí)際上卻是相當(dāng)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。 

【例題1】：某班共有13個(gè)同學(xué)，那么至少有幾人是同月出生？（ ） 

A. 13 B. 12 C. 6 D. 2 

【解析】：找準(zhǔn)題中兩個(gè)量，一個(gè)是人數(shù)，一個(gè)是月份，把人數(shù)當(dāng)作“蘋果”，把月份當(dāng)作“抽屜”，那么問(wèn)題就變成：13個(gè)蘋果放12個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里放兩個(gè)蘋果�！疽阎�蘋果和抽屜，用“抽屜原理1”】 

【例題2】某班參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，試卷滿分是30分。為保證有2人的得分一樣，該班至少得有幾人參賽？（ ） 

A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 

【解析】毫無(wú)疑問(wèn)，參賽總?cè)藬?shù)可作“蘋果”，這里需要找“抽屜”，使找到的“抽屜”滿足：總?cè)藬?shù)放進(jìn)去之后，保證有1個(gè)“抽屜”里，有2人。仔細(xì)分析題目，“抽屜”當(dāng)然是得分，滿分是30分，則一個(gè)人可能的得分有31種情況（從0分到30分），所以“蘋果”數(shù)應(yīng)該是31＋1＝32�！疽阎�蘋果和抽屜，用“抽屜原理2”】 

【例題3】 在某校數(shù)學(xué)樂(lè)園中，五年級(jí)學(xué)生共有400人，年齡最大的與年齡最小的相差不到1歲，我們不用去查看學(xué)生的出生日期，就可斷定在這400個(gè)學(xué)生中至少有兩個(gè)是同年同月同日出生的，你知道為什么嗎？ 

【解析】因?yàn)槟挲g最大的與年齡最小的相差不到1歲，所以這400名學(xué)生出生的日期總數(shù)不會(huì)超過(guò)366天，把400名學(xué)生看作400個(gè)蘋果，366天看作是366個(gè)抽屜，（若兩名學(xué)生是同一天出生的，則讓他們進(jìn)入同一個(gè)抽屜，否則進(jìn)入不同的抽屜）由“抽屜原則2”知“無(wú)論怎么放這400個(gè)蘋果，一定能找到一個(gè)抽屜，它里面至少有2（400÷366＝1……1，1＋1＝2）個(gè)蘋果”。即：一定能找到2個(gè)學(xué)生，他們是同年同月同日出生的。 

【例題4】有紅色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起。如果讓你閉上眼睛去摸，

（1）你至少要摸出幾根才敢保證至少有兩根筷子是同色的？為什么？（2）至少拿幾根，才能保證有兩雙同色的筷子，為什么？ 

【解析】把3種顏色的筷子當(dāng)作3個(gè)抽屜。則： 

（1）根據(jù)“抽屜原理1”，至少拿4根筷子，才能保證有2根同色筷子；（2）從最特殊的情況想起，假定3種顏色的筷子各拿了3根，也就是在3個(gè)“抽屜”里各拿了3根筷子，不管在哪個(gè)“抽屜”里再拿1根筷子，就有4根筷子是同色的，所以一次至少應(yīng)拿出3×3＋1＝10（根）筷子，就能保證有4根筷子同色。 

【例題5】證明在任意的37人中，至少有4人的屬相相同。 

【解析】將37人看作37個(gè)蘋果，12個(gè)屬相看作是12個(gè)抽屜，由“抽屜原理2”知，“無(wú)論怎么放一定能找到一個(gè)抽屜，它里面至少有4個(gè)蘋果”。即在任意的37人中，至少有4（37÷12＝3……1，3＋1＝4）人屬相相同。 

【例題6】某班有個(gè)小書架，40個(gè)同學(xué)可以任意借閱，試問(wèn)小書架上至少要有多少本書，才能保證至少有1個(gè)同學(xué)能借到2本或2本以上的書？ 

分析：從問(wèn)題“有1個(gè)同學(xué)能借到2本或2本以上的書”我們想到，此話對(duì)應(yīng)于“有一個(gè)抽屜里面有2個(gè)或2個(gè)以上的蘋果”。所以我們應(yīng)將40個(gè)同學(xué)看作40個(gè)抽屜，將書本看作蘋果，如某個(gè)同學(xué)借到了書，就相當(dāng)于將這個(gè)蘋果放到了他的抽屜中。 

【解析】將40個(gè)同學(xué)看作40個(gè)抽屜，書看作是蘋果，由“抽屜原理1”知：要保證有一個(gè)抽屜中至少有2個(gè)蘋果，蘋果數(shù)應(yīng)至少為40＋1＝41（個(gè)）。即：小書架上至少要有41本書。 

面我們來(lái)看兩道國(guó)考真題： 

【例題7】（國(guó)家公務(wù)員考試2004年B類第48題的珠子問(wèn)題）： 

有紅、黃、藍(lán)、白珠子各10粒，裝在一個(gè)袋子里，為了保證摸出的珠子有兩顆顏色相同，應(yīng)至少摸出幾粒？（ ） 

A．3 B．4 C．5 D．6 

【解析】把珠子當(dāng)成“蘋果”，一共有10個(gè)，則珠子的顏色可以當(dāng)作“抽屜”，為保證摸出的珠子有2顆顏色一樣，我們假設(shè)每次摸出的分別都放在不同的“抽屜”里，摸了4 個(gè)顏色不同的珠子之后，所有“抽屜”里都各有一個(gè)，這時(shí)候再任意摸1個(gè)，則一定有 一個(gè)“抽屜”有2顆，也就是有2顆珠子顏色一樣。答案選C。 

【例題8】（國(guó)家公務(wù)員考試2007年第49題的撲克牌問(wèn)題）： 

從一副完整的撲克牌中，至少抽出（ ）張牌，才能保證至少6張牌的花色相同？ 

A．21 B．22 C．23 D．24 

【解析】完整的撲克牌有54張，看成54個(gè)“蘋果”，抽屜就是6個(gè)（黑桃、紅桃、梅花、方塊、大王、小王），為保證有6張花色一樣，我們假設(shè)現(xiàn)在前4個(gè)“抽屜”里各放了5張，后兩個(gè)“抽屜”里各放了1張，這時(shí)候再任意抽取1張牌，那么前4個(gè)“抽屜”里必然有1個(gè)“抽屜”里有6張花色一樣。答案選C。