容斥“最值”知多少?
近年來，行測對于知識(shí)點(diǎn)的考察絕對不再僅僅局限于表面上的公式的基本運(yùn)用，在當(dāng)今的公考中更多的測查考生的一個(gè)理解與靈活運(yùn)用能力，而對于行測中經(jīng)常出現(xiàn)的一類問題-容斥問題，我們現(xiàn)如今的考點(diǎn)也已經(jīng)從基本公式向著更多的變形考點(diǎn)去延伸，江蘇公務(wù)員考試網(wǎng)給大家?guī)淼氖顷P(guān)于利用方程思想解決容斥“最值”問題的基本方法。
一、 容斥問題基本公式
二者容斥：I=A+B-A∩B+m
三者容斥：I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+m
二、 容斥“最值”問題的題型特征：
1. 區(qū)域出現(xiàn)重疊;
2. 出現(xiàn)“最多”、“最少”、“至多”、“至少”等字眼。
三、經(jīng)典例題
例1. 有100人參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的三個(gè)比賽項(xiàng)目，每人至少參加一項(xiàng)，其中未參加跳遠(yuǎn)的有50人，未參加跳高的有60人，未參加賽跑的有70人。那么至少有()人參加了不止一個(gè)項(xiàng)目的比賽。
A.7 B.10 C.15 D.20
【答案】B。解析：設(shè)參加兩項(xiàng)的有x人，參加三項(xiàng)的有y人，則參加不止一項(xiàng)的為x+y人。根據(jù)容斥原理可得：50+40+30-x-2y=100，則x+2y=20。題目要求是x+y盡可能小，根據(jù)x+2y=(x+y)+y，要想保證x+y盡可能小，那么y要盡可能大，又因?yàn)閤+2y等于定值，所以要想y盡可能大，則x盡可能小，x最小為0，此時(shí)y最大為10，此時(shí)x+y取得最小值為0+10=10，所以答案為B。
例2. 同學(xué)們參加周末興趣小組，每個(gè)小組各有50人參加，已知音樂和美術(shù)都參加的有20人，體育和美術(shù)都參加的有12人，音樂和體育都參加的有15人，問只參加一個(gè)興趣小組的最少有多少人?
A.3 B.56 C.92 D.103
【答案】B。解析：設(shè)參加三個(gè)興趣小組的人為x人，只參加一個(gè)興趣小組的有y人，有y=(50-20-12+x)+(50-12-15+x)+(50-20-15+x)，y=56+3x，要想y最小，即讓x最小，x最小為0，此時(shí)y取得最小值為56。
例3. 某學(xué)校五年二班參加語文、數(shù)學(xué)、英語三科考試，語文90分以上的有21人，數(shù)學(xué)有19人，英語有20人，語文數(shù)學(xué)都在90分以上的有9人，數(shù)學(xué)英語在90分以上的有7人，語文英語都在90分以上的有8人，另外有5人三科都在90分以下，這個(gè)班最多有多少人?
A.47 B.48 C.49 D.50
【答案】B。解析：分別用A、B、C代表語文、數(shù)學(xué)和英語90分以上的人，則有A=21,B=19,C= 20,, A∩B=9,B∩C=7,.A∩C=8,m=5記A∩B∩C為x，根據(jù)容斥問題基本公有則有：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+x+5=I，整理得I=41+x，要想I最大，即讓x最大，A∩B、B∩C、A∩C三者交集的最大值為7，所以x最大取值為7，此時(shí)I取得最大值為41+7=48，故答案為B。
正所謂學(xué)則變，變則通，希望大家在以后的學(xué)習(xí)中碰到容斥“最值”問題能夠做到靈活應(yīng)對，以上就是江蘇公務(wù)員考試網(wǎng)為大家?guī)淼年P(guān)于方程思想解決實(shí)際容斥問題的基本方法。
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