江蘇省公務(wù)員考試數(shù)學(xué)運(yùn)算巧解余數(shù)問(wèn)題
江蘇省公務(wù)員考試數(shù)學(xué)運(yùn)算題中有一類問(wèn)題，被稱為“余數(shù)問(wèn)題”。學(xué)寶云課堂老師介紹，常見的出題方式為：給出條件，假定某個(gè)數(shù)滿足除以a余x，除以b余y，除以c余z，其中a、b、c兩兩互質(zhì)，求滿足這樣條件的數(shù)是多少（有幾個(gè)）。而對(duì)于解決這類問(wèn)題常采用枚舉法和代入排除法兩種，但效率并不是很高，江蘇公務(wù)員考試網(wǎng)在此列舉一些處理這類問(wèn)題的特殊方法。
一、類別一：特殊余數(shù)問(wèn)題
1、條件：余數(shù)相同
思路：除數(shù)的最小公倍數(shù)+余數(shù)
【例1】三位數(shù)的自然數(shù)P滿足：除以4余2，除以5余2，除以6余2，則以下符合條件的自然數(shù)P是（ ）。
A.120 B.122 C.121 D.123
【解析】根據(jù)題目條件余數(shù)相同，均為余2，而4,5,6的最小公倍數(shù)為60，因此數(shù)P滿足：P=60n+2 ，（n=0,1,2,3……），而當(dāng)n=2時(shí)，P=122，故答案為B。
2、條件：除數(shù)和余數(shù)的和相同
思路：除數(shù)的最小公倍數(shù)+和（除數(shù)加余數(shù)的和）
【例2】三位數(shù)的自然數(shù)P滿足：除以5余3，除以6余2，除以7余1，則符合條件的自然數(shù)P有多少個(gè)?（ ）
A.3 B.2 C.4 D.5
【解析】根據(jù)題設(shè)，發(fā)現(xiàn)除數(shù)與余數(shù)的和相加均為8，而5,6,7的最小公倍數(shù)為210，所以數(shù)P滿足P=210n+8(n=0,1,2……)，而在100至999以內(nèi)滿足條件的自然數(shù)有218，428，638，848四個(gè)數(shù)，故答案為C。
3、條件：除數(shù)和余數(shù)之差相同
思路：除數(shù)的最小公倍數(shù)-差（除數(shù)減余數(shù)的差）
【例3】某校三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行排隊(duì)，發(fā)現(xiàn)每5人一排多1人，每6人一排多2人，每7人一排3多人，問(wèn)這個(gè)年級(jí)至少有多少人?（ ）
A.206 B.202 C.237 D.302
【解析】觀察題干可發(fā)現(xiàn)，除數(shù)與余數(shù)的差均為4，又5,6,7的最小公倍數(shù)為210，所以數(shù)P滿足P=210n-4（n=1,2,3……），當(dāng)n=1時(shí)，P為206，故答案為A。另外，本題可采取代入排除法直接驗(yàn)算，也能快速得到答案。
二、類別二：一般余數(shù)問(wèn)題
有時(shí)候遇到的余數(shù)并不滿足以上所有條件，這類問(wèn)題比以上問(wèn)題更為麻煩一些，解決它們的一般思路是求出滿足題干中兩個(gè)條件的通項(xiàng)公式，再利用同余特性加以解決。舉例如下：
【例4】自然數(shù)P同時(shí)滿足除以3余1，除以4余3，除以7余4，求滿足這樣條件的三位數(shù)共有多少個(gè)?（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
【解析】此題為一般余數(shù)問(wèn)題，考慮先取其中兩個(gè)條件，“除以3余1，除以4余3”，則P=4n+3=3a+1，如果等式兩邊同時(shí)除以3，則左邊的余數(shù)為n，右邊的余數(shù)為1，即n=1；故同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件的最小數(shù)為7，則通項(xiàng)為P=12n+7……①；再將①式所得的條件與“除以7余4”的條件結(jié)合，即滿足題干三個(gè)條件的數(shù)P=12n+7=7b+4，如果等式兩邊同時(shí)除以7，則左邊余5n，右邊余4，右邊也可認(rèn)為余25，得到5n=25，n=5，代入①式，得P=67。則滿足題干三個(gè)條件的數(shù)的通項(xiàng)為P=84n+67(n=0,1,2,3……)，根據(jù)100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11，則符合條件的數(shù)共有11個(gè)，故答案為B。
結(jié)語(yǔ)：通過(guò)以上分析，相信考生對(duì)于余數(shù)問(wèn)題有了清晰的思路，那么以后遇到余數(shù)問(wèn)題就能從容解決了。話說(shuō)回來(lái)，如果題目能直接代入排除的，采用代入排除法也不失為一種好的方法。
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