2014江蘇公務(wù)員考試數(shù)量：整除與余數(shù)
2014年江蘇公務(wù)員考試預(yù)計在明年2月份啟動，距今還有約5個月的時間，隨著全社會“公考熱”的不斷升溫和命題的日趨規(guī)范，備考也對考生提出了越來越高的要求。在公務(wù)員考試中，行測一直都是一個必考科目，而作為行測當(dāng)中的老大難——數(shù)量關(guān)系，一直都是眾考生們比高下的演武場。行測數(shù)量可以說一直以來都是我們在考試時想比過別人的必爭之地，下面江蘇公務(wù)員考試網(wǎng)（http://www.5yxx.com/）就為考生講述一下如何利用整除思想和與之對應(yīng)的余數(shù)思想來解答數(shù)量關(guān)系題，希望考生能夠熟練掌握。
一、整除思想
數(shù)量關(guān)系題目常見形式就是我們從小就異常熟悉的“應(yīng)用題”，應(yīng)用題在無限寬裕的時間里，應(yīng)用題對于任何一個掌握了初等數(shù)學(xué)知識的人都不會是難題，只要能列方程就一定能出結(jié)果，但是在時間緊迫的行測考場當(dāng)中，想要贏，關(guān)鍵就是速度，速度是決勝行測考場的制勝法寶。如何能夠做到快速解題，整除思想就是必備必殺技中的一種。
整除思想，說到整除，非常簡單，就是通過倍數(shù)關(guān)系來快速鎖定答案。如何運用整除來幫助我們快速解題，下面我們將結(jié)合2014年江蘇公務(wù)員考試通用教材中的例題來向大家說明：
【例】已知甲、乙兩人共有260本書，其中甲的書有13%是專業(yè)書，乙的書有12.5%是專業(yè)書，問甲有多少本非專業(yè)書?
A.75 B.87 C.174 D.67
【解析】本題常規(guī)的大家可能會想到列方程求解，設(shè)甲的書有X本，乙的書有Y本，X+Y=260，但是，接下來13%X+12.5%Y就不再有條件去列等式了，那么這個題在方程當(dāng)中就無解了。
但是……我們有神奇的整除思想，這正是這道題的考點所在，我們行測數(shù)量解題的關(guān)鍵就在于如何找出突破口，快速解題，本題命題人就是想考察我們對于整除思想的掌握程度，所以，這里整除思想就是讓我們快速解題的關(guān)鍵所在了。甲的書中有13%是專業(yè)書，那么甲的專業(yè)書的數(shù)量一定是13的整倍數(shù)，而13%是最簡分數(shù)了，那么甲的書的總數(shù)一定能被100整除，故只有兩種可能，情況1：甲有書100本，乙有書160本;情況2：甲有書200本，乙有書60本。而再結(jié)合第二個條件，乙的書中有12.5%是專業(yè)書，那么化為最簡分數(shù)1/8，乙擁有的書的總冊數(shù)一定是能被8整除的，故，只能是第一種情況，甲有100本書，乙有160本書。
而甲的100本書當(dāng)中有13%是專業(yè)書，即13本專業(yè)書，那么甲的非專業(yè)書就是87本。
該題看似無解，其實是想考察考生對整除思想的掌握程度，如果能快速看到本題的突破口所在，那么不僅可以解題，甚至是不需要列式計算就能直接秒殺的!
二、余數(shù)思想
�。ㄒ唬┯鄶�(shù)關(guān)系式和恒等式的應(yīng)用
余數(shù)的關(guān)系式和恒等式比較簡單，因為這一部分的知識點在小學(xué)時候就已經(jīng)學(xué)過了，余數(shù)基本關(guān)系式：被除數(shù)÷除數(shù)=商…余數(shù)(0≤余數(shù)<除數(shù))，但是在這里需要強調(diào)兩點：
1、余數(shù)是有范圍的(0≤余數(shù)<除數(shù))，這需要引起大家足夠的重視，因為這是某些題目的突破口。
2、由關(guān)系式轉(zhuǎn)變的余數(shù)基本恒等式也需要掌握：被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)。
【例1】兩個整數(shù)相除，商是5，余數(shù)是11，被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)的和是99，求被除數(shù)是多少?
A.12 B.41 C.67 D.71
【解析】余數(shù)是11，因此，根據(jù)余數(shù)的范圍(0≤余數(shù)<除數(shù))，我們能夠確定除數(shù)>11。除數(shù)為整數(shù)，所以除數(shù)≥12，根據(jù)余數(shù)的基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)≥12×商+余數(shù)=12×5+11=71，因此被除數(shù)最小為71，答案選擇D選項。
【例2】有四個自然數(shù)A、B、C、D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個自然數(shù)的和是?
A. 216 B. 108 C. 314 D. 348
【解析】利用余數(shù)基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然數(shù)，于是A可以被5整除，同理，A還可以被6、7整除，因此，A可以表示為5、6、7的公倍數(shù)，即210n。由于A、B、C、D的和不超過400，所以A只能等于210，從而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，選C。
像上面這兩個題目，就是活用這兩個知識點來解題的，所以在對這類問題的練習(xí)過程中，一定要牢牢地把握這兩點。
�。ǘ┐肱懦愋�
【例】學(xué)生在操場上列隊做操，只知人數(shù)在90-110之間。如果排成3排則不多不少;排成5排則少2人;排成7排則少4人;則學(xué)生人數(shù)是多少?( )
A.102 B.98 C.104 D.108
【解析】像這樣的題目直接代入選項，看看哪個符合題目所給的條件，哪個就是正確的答案，毫無疑問，選項108滿足條件，選擇D。
（三）同余問題
這類問題在考試中比較常見，主要是從除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系入手，來求得最終答案。通過總結(jié)我們得出解決同余問題的核心口訣，如下表所示：
同余問題核心口訣
“最小公倍數(shù)作周期，余同取余，和同加和，差同減差”
余同取余：“一個數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1”，這個數(shù)是 60n+1
和同加和：“一個數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1”，這個數(shù)是 60n+7
差同減差：“一個數(shù)除以4余3，除以5余4，除以6余5”，這個數(shù)是 60n-1
說明：在這里，n的取值范圍為整數(shù)，可以為正數(shù)也可以取負數(shù)。
【例1】一個數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1，請問這個數(shù)如何表示?
【解析】設(shè)這個數(shù)為A，則A除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么A-1就可以被4、5、6整除。4、5、6的最小公倍數(shù)為60，所以A-1就可以表示為60n，因此，A=60n+1。
【例2】一個數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1，請問這個數(shù)如何表示?
【解析】設(shè)這個數(shù)為A，如果A除以4余3，除以5余2，除以6余1，我們知道除數(shù)與對應(yīng)余數(shù)的和相同，對應(yīng)的為“和同加和”，滿足這三個條件的數(shù)可以表示為：A= 60n+7。
【例3】一個數(shù)除以4余1，除以5余2，除以6余3，請問這個數(shù)如何表示?
【解析】除以除以4余1，除以5余2，除以6余3，我們知道除數(shù)與對應(yīng)余數(shù)的差相同，對應(yīng)的為“差同減差”，滿足這三個條件的數(shù)可以表示為：60n-1。
根據(jù)以上三道例題的結(jié)論，我們還可以舉一反三地解決其他相關(guān)問題。如：
【例4】一個三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數(shù)共有多少個?
A. 5個 B. 6個 C. 7個 D. 8個
解析：除以5余2，除以4余3，我們知道除數(shù)與對應(yīng)余數(shù)的和相同，對應(yīng)的為“和同加和”，滿足這兩個條件的數(shù)可以表示為，P=20n+7，表示除以20余7;再配上之前的條件除以9余7，對應(yīng)的為“余同取余”，我們得到這個數(shù)可以表示為180n+7，由于這個數(shù)為三位數(shù)，所以n可以取1、2、3、4、5，所以共5個。
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整除思想，說到整除，非常簡單，就是通過倍數(shù)關(guān)系來快速鎖定答案。如何運用整除來幫助我們快速解題，下面我們將結(jié)合2014年江蘇公務(wù)員考試通用教材中的例題來向大家說明：
【例】已知甲、乙兩人共有260本書，其中甲的書有13%是專業(yè)書，乙的書有12.5%是專業(yè)書，問甲有多少本非專業(yè)書?
A.75 B.87 C.174 D.67
【解析】本題常規(guī)的大家可能會想到列方程求解，設(shè)甲的書有X本，乙的書有Y本，X+Y=260，但是，接下來13%X+12.5%Y就不再有條件去列等式了，那么這個題在方程當(dāng)中就無解了。
但是……我們有神奇的整除思想，這正是這道題的考點所在，我們行測數(shù)量解題的關(guān)鍵就在于如何找出突破口，快速解題，本題命題人就是想考察我們對于整除思想的掌握程度，所以，這里整除思想就是讓我們快速解題的關(guān)鍵所在了。甲的書中有13%是專業(yè)書，那么甲的專業(yè)書的數(shù)量一定是13的整倍數(shù)，而13%是最簡分數(shù)了，那么甲的書的總數(shù)一定能被100整除，故只有兩種可能，情況1：甲有書100本，乙有書160本;情況2：甲有書200本，乙有書60本。而再結(jié)合第二個條件，乙的書中有12.5%是專業(yè)書，那么化為最簡分數(shù)1/8，乙擁有的書的總冊數(shù)一定是能被8整除的，故，只能是第一種情況，甲有100本書，乙有160本書。
而甲的100本書當(dāng)中有13%是專業(yè)書，即13本專業(yè)書，那么甲的非專業(yè)書就是87本。
該題看似無解，其實是想考察考生對整除思想的掌握程度，如果能快速看到本題的突破口所在，那么不僅可以解題，甚至是不需要列式計算就能直接秒殺的!
二、余數(shù)思想
�。ㄒ唬┯鄶�(shù)關(guān)系式和恒等式的應(yīng)用
余數(shù)的關(guān)系式和恒等式比較簡單，因為這一部分的知識點在小學(xué)時候就已經(jīng)學(xué)過了，余數(shù)基本關(guān)系式：被除數(shù)÷除數(shù)=商…余數(shù)(0≤余數(shù)<除數(shù))，但是在這里需要強調(diào)兩點：
1、余數(shù)是有范圍的(0≤余數(shù)<除數(shù))，這需要引起大家足夠的重視，因為這是某些題目的突破口。
2、由關(guān)系式轉(zhuǎn)變的余數(shù)基本恒等式也需要掌握：被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)。
【例1】兩個整數(shù)相除，商是5，余數(shù)是11，被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)的和是99，求被除數(shù)是多少?
A.12 B.41 C.67 D.71
【解析】余數(shù)是11，因此，根據(jù)余數(shù)的范圍(0≤余數(shù)<除數(shù))，我們能夠確定除數(shù)>11。除數(shù)為整數(shù)，所以除數(shù)≥12，根據(jù)余數(shù)的基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)≥12×商+余數(shù)=12×5+11=71，因此被除數(shù)最小為71，答案選擇D選項。
【例2】有四個自然數(shù)A、B、C、D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個自然數(shù)的和是?
A. 216 B. 108 C. 314 D. 348
【解析】利用余數(shù)基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然數(shù)，于是A可以被5整除，同理，A還可以被6、7整除，因此，A可以表示為5、6、7的公倍數(shù)，即210n。由于A、B、C、D的和不超過400，所以A只能等于210，從而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，選C。
像上面這兩個題目，就是活用這兩個知識點來解題的，所以在對這類問題的練習(xí)過程中，一定要牢牢地把握這兩點。
�。ǘ┐肱懦愋�
【例】學(xué)生在操場上列隊做操，只知人數(shù)在90-110之間。如果排成3排則不多不少;排成5排則少2人;排成7排則少4人;則學(xué)生人數(shù)是多少?( )
A.102 B.98 C.104 D.108
【解析】像這樣的題目直接代入選項，看看哪個符合題目所給的條件，哪個就是正確的答案，毫無疑問，選項108滿足條件，選擇D。
（三）同余問題
這類問題在考試中比較常見，主要是從除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系入手，來求得最終答案。通過總結(jié)我們得出解決同余問題的核心口訣，如下表所示：
同余問題核心口訣
“最小公倍數(shù)作周期，余同取余，和同加和，差同減差”
余同取余：“一個數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1”，這個數(shù)是 60n+1
和同加和：“一個數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1”，這個數(shù)是 60n+7
差同減差：“一個數(shù)除以4余3，除以5余4，除以6余5”，這個數(shù)是 60n-1
說明：在這里，n的取值范圍為整數(shù)，可以為正數(shù)也可以取負數(shù)。
【例1】一個數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1，請問這個數(shù)如何表示?
【解析】設(shè)這個數(shù)為A，則A除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么A-1就可以被4、5、6整除。4、5、6的最小公倍數(shù)為60，所以A-1就可以表示為60n，因此，A=60n+1。
【例2】一個數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1，請問這個數(shù)如何表示?
【解析】設(shè)這個數(shù)為A，如果A除以4余3，除以5余2，除以6余1，我們知道除數(shù)與對應(yīng)余數(shù)的和相同，對應(yīng)的為“和同加和”，滿足這三個條件的數(shù)可以表示為：A= 60n+7。
【例3】一個數(shù)除以4余1，除以5余2，除以6余3，請問這個數(shù)如何表示?
【解析】除以除以4余1，除以5余2，除以6余3，我們知道除數(shù)與對應(yīng)余數(shù)的差相同，對應(yīng)的為“差同減差”，滿足這三個條件的數(shù)可以表示為：60n-1。
根據(jù)以上三道例題的結(jié)論，我們還可以舉一反三地解決其他相關(guān)問題。如：
【例4】一個三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數(shù)共有多少個?
A. 5個 B. 6個 C. 7個 D. 8個
解析：除以5余2，除以4余3，我們知道除數(shù)與對應(yīng)余數(shù)的和相同，對應(yīng)的為“和同加和”，滿足這兩個條件的數(shù)可以表示為，P=20n+7，表示除以20余7;再配上之前的條件除以9余7，對應(yīng)的為“余同取余”，我們得到這個數(shù)可以表示為180n+7，由于這個數(shù)為三位數(shù)，所以n可以取1、2、3、4、5，所以共5個。
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