巧用整除法解江蘇省公務(wù)員數(shù)學(xué)運(yùn)算題
公務(wù)員考試行測(cè)部分都是選擇題，江蘇公務(wù)員考試網(wǎng)（www.5yxx.com）建議考生可以從選項(xiàng)入手，利用數(shù)的一些性質(zhì)，例如整除性，排除不符合已知條件的選項(xiàng)，進(jìn)而得到正確選項(xiàng)。免除了繁瑣的列式、計(jì)算等中間環(huán)節(jié)，就大大提高了解題的速度和準(zhǔn)確度。
一般來說，和差倍比問題，特別是遇到含百分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)和比例的問題，可以根據(jù)題目中的倍數(shù)關(guān)系，利用整除性解題。
一些多位數(shù)問題，也可以利用數(shù)的整除性繞過復(fù)雜的分析，直接排除錯(cuò)誤選項(xiàng)來解題。
例題：有一食品店某天購進(jìn)了6箱食品，分別裝著餅干和面包，重量分別為8、9、16、20、22、27公斤，該店當(dāng)天只賣出一箱面包，在剩下的5箱中餅干的重量是面包的兩倍，則當(dāng)天食品店購進(jìn)了（ ）公斤面包。
A．44 B．45 C．50 D．52
根據(jù)題意我們知道，面包和餅干總重量是8+9+16+20+22+27=102，這102能被3整除。賣出一箱后剩下的之和由題意可知也能被3整除（因?yàn)槭Ｏ碌氖称分酗灨傻闹亓渴敲姘膬杀叮敲凑f明賣出的那箱面包只可能是9或者27；分情況討論如下：
第一種情況：賣出的是9，則剩下93，其中面包為31，餅干為62，但8，16，20，22，27中不能找到和為31的兩個(gè)數(shù)。
第二種情況：賣出的是27，則剩下75，其中面包為25，剩下的數(shù)中9+16=25合題意，所以共買進(jìn)面包25+27=52公斤。故選D。
本題就是利用數(shù)字之和能夠被3整除的性質(zhì)快速第解答了題目。大家在平時(shí)練習(xí)的時(shí)候就要多用這些方法，觀察題目的特點(diǎn)，快速解題。
利用數(shù)的整除性解題，江蘇公務(wù)員考試網(wǎng)提醒考生往往還需要用下面的幾個(gè)性質(zhì)及特征：
1、數(shù)的整除性質(zhì)：
(1)對(duì)稱性：若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)也能被甲數(shù)整除，那么甲、乙兩數(shù)相等。
(2)傳遞性：若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。
(2) 若兩個(gè)數(shù)能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差都能該自然數(shù)整除。
(3) 幾個(gè)數(shù)相乘，若其中有一個(gè)因子能被某一個(gè)數(shù)整除，那么它們的積也能被該數(shù)整除。
(4) 若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)也能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除。
(5) 若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除，那么，這個(gè)數(shù)也能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)整除。
(6) 若一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自然數(shù)中的一個(gè)。
2、數(shù)的整除特征：一個(gè)數(shù)要想被另一個(gè)數(shù)整除，該數(shù)需含有對(duì)方所具有的質(zhì)數(shù)因子。
(1)1與0的特性： 1是任何整數(shù)的約數(shù)，0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)。
(2)若一個(gè)整數(shù)的末位是0、2、4、6或8，則這個(gè)數(shù)能被2整除。
(3)若一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被3(9)整除，則這個(gè)整數(shù)能被3(9)整除。
(4) 若一個(gè)整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4(25)整除，則這個(gè)數(shù)能被4(25)整除。
(5)若一個(gè)整數(shù)的末位是0或5，則這個(gè)數(shù)能被5整除。
(6)若一個(gè)整數(shù)能被2和3整除，則這個(gè)數(shù)能被6整除。
(7)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。
(8)若一個(gè)整數(shù)的末尾三位數(shù)能被8(125)整除，則這個(gè)數(shù)能被8(125)整除。
(9)若一個(gè)整數(shù)的末位是0，則這個(gè)數(shù)能被10整除。
(10)若一個(gè)整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個(gè)數(shù)能被11整除。(不夠減時(shí)依次加11直至夠減為止)。11的倍數(shù)檢驗(yàn)法也可用上述檢查7的(割尾法)處理，過程唯一不同的是：倍數(shù)不是2而是1。
(11)若一個(gè)整數(shù)能被3和4整除，則這個(gè)數(shù)能被12整除。
(12)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的4倍，如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。
一個(gè)三位以上的整數(shù)能否被7(11或13)整除，只須看這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差(以大減小)能否被7(11或13)整除。
另法：將一個(gè)多位數(shù)從后往前三位一組進(jìn)行分段。奇數(shù)段各三位數(shù)之和與偶數(shù)段各三位數(shù)之和的差若被7(11或13)整除，則原多位數(shù)也被7(11或13)整除。
(13)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。
(14)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。
(15)若一個(gè)整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個(gè)數(shù)能被17整除。
(16)若一個(gè)整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個(gè)數(shù)能被19整除。
(17)若一個(gè)整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個(gè)數(shù)能被23整除。
練習(xí)題1：一個(gè)三位自然數(shù)正好等于它各位數(shù)字之和的18倍，則這個(gè)三位自然數(shù)是：
A.999 B.476 C.387 D.162
解析：此題答案為D。這個(gè)三位數(shù)是18的倍數(shù)，即這個(gè)三位數(shù)能被18整除，又18能被2和9整除，根據(jù)整除性質(zhì)1，這個(gè)數(shù)一定能被9和2整除。A、C兩項(xiàng)不能被2整除，排除；B項(xiàng)4+7+6=17，不能被9整除，排除；只有D項(xiàng)符合。
練習(xí)題2：某公司去年有員工830人，今年男員工人數(shù)比去年減少6%，女員工人數(shù)比去年增加5%，員工總數(shù)比去年增加3人。問今年男員工有多少人？
A.329 B.350 C.371 D.504
解析：此題答案為A。今年男員工人數(shù)比去年減少6%，則設(shè)去年有男員工x人，去年女員工有（830-x）人。根據(jù)今年員工數(shù)=去年員工數(shù)+3，可得（1-6%）x+（1+5%）（830-x）=830+3，解得x=350，則今年男員工有（1-6%）x=94%x=329人，也可根據(jù)今年男員工比去年少直接選A。
利用整除性快解：考慮到員工數(shù)是整數(shù)這個(gè)特點(diǎn)，可以直接從今年男員工數(shù)是去年的94%入手，選項(xiàng)中只有329除以94%是整數(shù)。故直接選A。
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一般來說，和差倍比問題，特別是遇到含百分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)和比例的問題，可以根據(jù)題目中的倍數(shù)關(guān)系，利用整除性解題。
一些多位數(shù)問題，也可以利用數(shù)的整除性繞過復(fù)雜的分析，直接排除錯(cuò)誤選項(xiàng)來解題。
例題：有一食品店某天購進(jìn)了6箱食品，分別裝著餅干和面包，重量分別為8、9、16、20、22、27公斤，該店當(dāng)天只賣出一箱面包，在剩下的5箱中餅干的重量是面包的兩倍，則當(dāng)天食品店購進(jìn)了（ ）公斤面包。
A．44 B．45 C．50 D．52
根據(jù)題意我們知道，面包和餅干總重量是8+9+16+20+22+27=102，這102能被3整除。賣出一箱后剩下的之和由題意可知也能被3整除（因?yàn)槭Ｏ碌氖称分酗灨傻闹亓渴敲姘膬杀叮敲凑f明賣出的那箱面包只可能是9或者27；分情況討論如下：
第一種情況：賣出的是9，則剩下93，其中面包為31，餅干為62，但8，16，20，22，27中不能找到和為31的兩個(gè)數(shù)。
第二種情況：賣出的是27，則剩下75，其中面包為25，剩下的數(shù)中9+16=25合題意，所以共買進(jìn)面包25+27=52公斤。故選D。
本題就是利用數(shù)字之和能夠被3整除的性質(zhì)快速第解答了題目。大家在平時(shí)練習(xí)的時(shí)候就要多用這些方法，觀察題目的特點(diǎn)，快速解題。
利用數(shù)的整除性解題，江蘇公務(wù)員考試網(wǎng)提醒考生往往還需要用下面的幾個(gè)性質(zhì)及特征：
1、數(shù)的整除性質(zhì)：
(1)對(duì)稱性：若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)也能被甲數(shù)整除，那么甲、乙兩數(shù)相等。
(2)傳遞性：若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。
(2) 若兩個(gè)數(shù)能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差都能該自然數(shù)整除。
(3) 幾個(gè)數(shù)相乘，若其中有一個(gè)因子能被某一個(gè)數(shù)整除，那么它們的積也能被該數(shù)整除。
(4) 若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)也能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除。
(5) 若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除，那么，這個(gè)數(shù)也能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)整除。
(6) 若一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自然數(shù)中的一個(gè)。
2、數(shù)的整除特征：一個(gè)數(shù)要想被另一個(gè)數(shù)整除，該數(shù)需含有對(duì)方所具有的質(zhì)數(shù)因子。
(1)1與0的特性： 1是任何整數(shù)的約數(shù)，0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)。
(2)若一個(gè)整數(shù)的末位是0、2、4、6或8，則這個(gè)數(shù)能被2整除。
(3)若一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被3(9)整除，則這個(gè)整數(shù)能被3(9)整除。
(4) 若一個(gè)整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4(25)整除，則這個(gè)數(shù)能被4(25)整除。
(5)若一個(gè)整數(shù)的末位是0或5，則這個(gè)數(shù)能被5整除。
(6)若一個(gè)整數(shù)能被2和3整除，則這個(gè)數(shù)能被6整除。
(7)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。
(8)若一個(gè)整數(shù)的末尾三位數(shù)能被8(125)整除，則這個(gè)數(shù)能被8(125)整除。
(9)若一個(gè)整數(shù)的末位是0，則這個(gè)數(shù)能被10整除。
(10)若一個(gè)整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個(gè)數(shù)能被11整除。(不夠減時(shí)依次加11直至夠減為止)。11的倍數(shù)檢驗(yàn)法也可用上述檢查7的(割尾法)處理，過程唯一不同的是：倍數(shù)不是2而是1。
(11)若一個(gè)整數(shù)能被3和4整除，則這個(gè)數(shù)能被12整除。
(12)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的4倍，如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。
一個(gè)三位以上的整數(shù)能否被7(11或13)整除，只須看這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差(以大減小)能否被7(11或13)整除。
另法：將一個(gè)多位數(shù)從后往前三位一組進(jìn)行分段。奇數(shù)段各三位數(shù)之和與偶數(shù)段各三位數(shù)之和的差若被7(11或13)整除，則原多位數(shù)也被7(11或13)整除。
(13)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。
(14)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。
(15)若一個(gè)整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個(gè)數(shù)能被17整除。
(16)若一個(gè)整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個(gè)數(shù)能被19整除。
(17)若一個(gè)整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個(gè)數(shù)能被23整除。
練習(xí)題1：一個(gè)三位自然數(shù)正好等于它各位數(shù)字之和的18倍，則這個(gè)三位自然數(shù)是：
A.999 B.476 C.387 D.162
解析：此題答案為D。這個(gè)三位數(shù)是18的倍數(shù)，即這個(gè)三位數(shù)能被18整除，又18能被2和9整除，根據(jù)整除性質(zhì)1，這個(gè)數(shù)一定能被9和2整除。A、C兩項(xiàng)不能被2整除，排除；B項(xiàng)4+7+6=17，不能被9整除，排除；只有D項(xiàng)符合。
練習(xí)題2：某公司去年有員工830人，今年男員工人數(shù)比去年減少6%，女員工人數(shù)比去年增加5%，員工總數(shù)比去年增加3人。問今年男員工有多少人？
A.329 B.350 C.371 D.504
解析：此題答案為A。今年男員工人數(shù)比去年減少6%，則設(shè)去年有男員工x人，去年女員工有（830-x）人。根據(jù)今年員工數(shù)=去年員工數(shù)+3，可得（1-6%）x+（1+5%）（830-x）=830+3，解得x=350，則今年男員工有（1-6%）x=94%x=329人，也可根據(jù)今年男員工比去年少直接選A。
利用整除性快解：考慮到員工數(shù)是整數(shù)這個(gè)特點(diǎn)，可以直接從今年男員工數(shù)是去年的94%入手，選項(xiàng)中只有329除以94%是整數(shù)。故直接選A。
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