一、容斥原理

容斥原理是2004、2005年中央國家公務(wù)員考試的一個(gè)難點(diǎn)，很多考生都覺得無從下手，其實(shí)，容斥原理關(guān)鍵就兩個(gè)公式：

1. 兩個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：A+B=A∪B+A∩B

2. 三個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C

請看例題：

【例題1】某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)是32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是(  )

A.22        B.18       C.28      D.26

【解析】設(shè)A=第一次考試中及格的人數(shù)(26人),B=第二次考試中及格的人數(shù)(24人),顯然,A+B=26+24=50； A∪B=32-4=28，則根據(jù)A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。答案為A。

【例題2】電視臺(tái)向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，11人兩個(gè)頻道都看過。問兩個(gè)頻道都沒看過的有多少人？

【解析】設(shè)A=看過2頻道的人(62)，B=看過8頻道的人(34)，顯然，A+B=62+34=96；

A∩B=兩個(gè)頻道都看過的人(11)，則根據(jù)公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，兩個(gè)頻道都沒看過的人數(shù)為100-85=15人。

二、作對或做錯(cuò)題問題

【例題】某次考試由30到判斷題，每作對一道題得4分，做錯(cuò)一題倒扣2分，小周共得96分，問他做錯(cuò)了多少道題？

A.12        B.4        C.2        D.5

【解析】

方法一

假設(shè)某人在做題時(shí)前面24道題都做對了,這時(shí)他應(yīng)該得到96分,后面還有6道題,如果讓這最后6道題的得分為0,即可滿足題意.這6道題的得分怎么才能為0分呢?根據(jù)規(guī)則,只要作對2道題,做錯(cuò)4道題即可,據(jù)此我們可知做錯(cuò)的題為4道,作對的題為26道.

方法二

作對一道可得4分,如果每作對反而扣2分,這一正一負(fù)差距就變成了6分.30道題全做對可得120分,而現(xiàn)在只得到96分,意味著差距為24分,用24÷6=4即可得到做錯(cuò)的題,所以可知選擇B

三、栽樹問題

核心要點(diǎn)提示：①總路線長②間距(棵距)長③棵數(shù)。只要知道三個(gè)要素中的任意兩個(gè)要素，就可以求出第三個(gè)。

【例題1】李大爺在馬路邊散步，路邊均勻的栽著一行樹，李大爺從第一棵數(shù)走到底15棵樹共用了7分鐘，李大爺又向前走了幾棵樹后就往回走，當(dāng)他回到第5棵樹是共用了30分鐘。李大爺步行到第幾棵數(shù)時(shí)就開始往回走？

A.第32棵     B.第32棵     C.第32棵     D.第32棵

解析：李大爺從第一棵數(shù)走到第15棵樹共用了7分鐘，也即走14個(gè)棵距用了7分鐘，所以走沒個(gè)棵距用0.5分鐘。當(dāng)他回到第5棵樹時(shí)，共用了30分鐘，計(jì)共走了30÷0.5=60個(gè)棵距，所以答案為B。第一棵到第33棵共32個(gè)棵距，第33可回到第5棵共28個(gè)棵距，32+28=60個(gè)棵距。

【例題2】為了把2008年北京奧運(yùn)會(huì)辦成綠色奧運(yùn)，全國各地都在加強(qiáng)環(huán)保，植樹造林。某單位計(jì)劃在通往兩個(gè)比賽場館的兩條路的(不相交)兩旁栽上樹，現(xiàn)運(yùn)回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多6000米，若每隔4米栽一棵，則少2754棵；若每隔5米栽一棵，則多396棵，則共有樹苗：( ）

A.8500棵  B.12500棵  C.12596棵   D.13000棵

解析：設(shè)兩條路共有樹苗ⅹ棵，根據(jù)栽樹原理，路的總長度是不變的，所以可根據(jù)路程相等列出方程：(ⅹ+2754-4)×4=(ⅹ-396-4)×5(因?yàn)?/font>2條路共栽4排，所以要減4)，解得ⅹ=13000，即選擇D。